函数f(x)=(e)^x/a+a/(e)^x(a>0)a∈R是R上的偶函数①求a值②证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数
人气:149 ℃ 时间:2019-08-21 22:00:05
解答
证明:
1)
f(x)=(e^x)/a+a/e^x,a>0
因为:e^x>0恒成立
所以:f(x)>0,定义域为实数范围R
f(x)是偶函数,则有:
f(-x)=[e^(-x)]/a+a*e^(x)=f(x)=(e^x)/a+a/e^x
所以:
(a-1/a)e^(-x)+(1/a-a)e^x=0
(a-1/a)(1/e^x+e^x)=0恒成立
所以:a-1/a=0,a=1/a>0
解得:a=1
2)
f(x)=e^x+1/e^x>=2√[e^x/e^x)=2
当且仅当e^x=1/e^x即e^x=1即x=0时取得最小值
e^x>1时,f(x)是增函数
所以:
f(x)在[0,+∞)上是增函数
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