如图,在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,M为CC
1的中点,AC交BD于点O,求证:A
1O⊥平面MBD.
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解答
证明:连接MO.
∵DB⊥A
1A,DB⊥AC,A
1A∩AC=A,
∴DB⊥平面A
1ACC
1.
又A
1O⊂平面A
1ACC
1,∴A
1O⊥DB.
在矩形A
1ACC
1中,tan∠AA
1O=
,
tan∠MOC=
,∴∠AA
1O=∠MOC,
则∠A
1OA+∠MOC=90°.∴A
1O⊥OM.
∵OM∩DB=O,∴A
1O⊥平面MBD.
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