设f(X)具有2阶连续导数,且f(a)=0,g(x)=f(x)/x-a,x不等于a,g(x)=f'(a),x=a,求g'(x）并证_数学解答

设f(X)具有2阶连续导数,且f(a)=0,g(x)=f(x)/x-a,x不等于a,g(x)=f'(a),x=a,求g'(x）并证明g(x)的一阶导数
在x=a处连续!主要是x=a的那个g'(x)=?然后就是证明了!

人气：205 ℃　时间：2019-08-16 23:26:43

解答

当x≠a时
g'(x) = f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2
（下面的极限全是x趋于a时的极限）
x=a时,
g'(a) = lim [g(x) - g(a)]/(x-a)
= lim [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)
f(x)具有二阶连续导数,则f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 0.5f''(x)(x-a)^2 + o((x-a)^2)
g'(a) = lim 0.5f''(a) + o((x-a)^2) = 0.5f''(a)
而lim g'(x) = lim f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2 = lim [f'(x) - f'(a)]/(x-a) - 0.5f''(a) - o((x-a)^2)
= 0.5f''(a) = g'(a)
所以g(x)一阶导数在x=a处连续