解；本题考虑抛物线的几何定义.x=2*1/2*y^2,p=1/2,则焦点为F(1/4,0),准线为x=-1/4
设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的曲率为1,故有
|AF|=x1-(-1/4)=x1+1/4
|BF|=x2-(-1/4)=x2+1/4
于是|AF|+|BF|=x1+x2+1/2≥|AB|=3
得(x1+x2)/2≥(3-1/2)/2=5/4
当且仅当AB过焦点F(1/4,0)时取最小值.
设直线AB的方程为y=k(x-1/4),代入x=y^2,消去x得
y=k(y^2-1/4),也即ky^2-y-k/4=0
则y1+y2=1/k,y1y2=-1/4
则|AB|=√(1+1/k^2)*|y1-y2|=√(1+1/k^2)*√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√(1+1/k^2)*√[(1/k)^2-4*(-1/4)]=1+1/k^2=3
解得k=±√2/2
则y1+y2=1/k=±√2
于是此时M点的坐标为(5/4,√2/2)或(5/4,-√2/2)曲率木有学过啊……不过看懂了