方法一：
如图，连接OE，OF，
设圆的半径为R，
∴OE=OF=R，
∵以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=

1

3

R，
由勾股定理得，AO=

10

3

R，BO=

10

R，AB=

10

，
∵AO+BO=AB，
∴R=

3

4

．
方法二：连接CO，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴S_△ACB=

1

2

×AC×BC=

3

2

，
∵S_△ACO+S_△COB=S_△ACB=

3

2

，
∴

1

2

×EO×1+

1

2

×FO×3=

3

2

，
解得：EO=

3

4

，
则⊙O的半径为

3

4

．
故选C．