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已知数列An中,an>0,Sn是前n项和,且An+An分之一=2Sn,求An通项公式
人气:343 ℃ 时间:2020-04-08 23:21:20
解答
由A1+1/A1=2S1=2*A1知,A1=1;
由A2+1/A2=2S2=2*A2+2*A1,得A2=√2-1;
由A3+1/A3=2S3,得A3=√3-√2;
……
推测 An=√n-√(n-1);
据此进行下列验算:
Sn=A1+A2+A3+……+An-1+An=1+(√2-1)+(√3-√2)+……+[√(n-1)-√(n-2)]+[√n-√(n-1)]=√n;
An+1/An=[√n-√(n-1)]+1/[√n-√(n-1)]=[√n-√(n-1)]+[√n+√(n-1)]/[n-(n-1)]=2√n;
从而 An+1/An=2*Sn;
An=√n-√(n-1)即为该数列通项公式;前三个式子不能先化简再计算吗?算起来很麻烦 如果先化简成简单式子,就用不着验算啊,有更简便写的算法吗?其实就是算两个一元二次方程,系数都类似,并不难算。难的是求解通项式过程,想直接根据数列各项之和导出通项公式更麻烦,可能需要很多步骤、列许多式子、观察总结,同样也要证明一下。如能预知通项形式直接予以证明那将是最简单的捷径了。可我是高二生啊,这种方法好是好,我用不起啊,老师没教过啊,他说只能用无穷推有限,这样算肯定是他不认可的题目并未规定做题方法,你哪种拿手就用哪种。但数列前三项先求出再总结规律或不能缺省,一般采用数归纳法,其实也就是按照找出或发现的规律先作假定或推测,然后再证明推测合理且满足要求。 如上;先由A1+1/A1=2S1=2A1求得A1=1,S1=√1;次由A2+(1/A2)=2S2=2A2+2A1=2A2+2求得 A2=√2-1,S2=√2;再由A3+(1/A3)=2S3=2A3+2√2,求得A3=√3-√2,S3=√3;……假定Sn=√n成立(或假定An=√n-√(n-1)成立),则An+(1/An)=2Sn=2√n,可求得 An=√n-√(n-1);据归纳法,当为n+1时,A(n+1)+1/(A(n+1))=2S(n+1)=2A(n+1)+2Sn,1/(A(n+1))-A(n+1)=2Sn=2√n;可求得 A(n+1)=√(n+1)-√n,S(n+1)=√(n+1);说明上述假设正确;所以,以An=√n-√(n-1)为数列通项公式,不需要再作其它证明,但到少求解五个类同一元二次方程。
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