设f(x)在[0,a]连续,在(0,a)可导,证明存在ξ∈(0,a)...
设f(x)在[0,a]连续,在(0,a)可导,证明存在ξ∈(0,a)使f'(ξ)+f(ξ)/ξ=0,
人气:386 ℃ 时间:2020-05-13 03:53:40
解答
如果f(x)=x,这道题不就证不了了吗?呃……我加一个条件吧,f(a)=0,这样好一点.设一个辅助函数F(x)=xf(x),显然有F(x)在[0,a]连续,在(0,a)可导,又因为F(0)=F(a)=0,根据罗尔中值定理,存在ξ∈(0,a)使F'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0 成立,又因为ξ不会为0,上式两端除以ξ即可得证.
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