设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)+2f(ξ)=0.
人气:319 ℃ 时间:2020-01-27 23:12:48
解答
证明:令F(x)=e2xf(x),
则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1).
由罗尔中值定理知,存在ξ∈(0,1),使得F′(ξ)=2e2ξf(ξ)+e2ξf′(ξ)=0,
即:f′(ξ)+2f(ξ)=0.
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