令f（x）=x²-ax+2b，
据题意知函数在[0，1]，[1，2]内各存在一零点，
结合二次函数图象可知满足条件

f(0)≥0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

b≥0 1−a+2b≤0 4−2a+2b≥0

在直角坐标系中作出满足不等式的点（a，b）所在的可行域，
问题转化为确定线性目标函数：z=2a+3b的最优解，
结合图形可知当线性目标函数：z=2a+3b位于点C（3，1）即a=3，b=1时，
目标函数取得最大值9．
故答案为：9．