已知ab是两个非零向量,证明当b与a+λ(λ属于R)垂直时,a+λb的模取得最小值
人气:340 ℃ 时间:2020-02-04 02:24:22
解答
(a+λb)²=|a|²+2λ|a||b|cos<a,b>+λ²|b|²
=|b|²[λ²+2λ|a|cosα/|b|+[|a|cosα/|b|]²]+|a|²(1-cos²α) [α=<a,b>]
=|b|²[λ+|a|cosα/|b|]²+|a|²(1-cos²α)
∴当λ=-|a|cosα/|b|]时.a+λb的模取得最小值.
此时b·(a+λb)=b·a+[-|a|cosα/|b|]|b|²=b·a-a·b=0.b⊥(a+λb)
反过来,当b⊥(a+λb),也有a+λb的模取得最小值.[楼主验证之]
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