f(x)=1/3 x³+|a|x²+2a*bx+1
其导函数为：f'(x)=x²+2|a|x+2a*b
=x²+2|a|x+2|a|*|b|*cos
∵f(x)在R上有极值,即f'(x)=0有实根,
∴方程x²+2|a|x+2|a|*|b|*cos=0的⊿=(2|a|)² - 4*1*2|a|*|b|*cos ≧0
又|a|=√3|b|,∴⊿=12|b|² - 8√3 |b|² cos=4√3 |b|²(√3-2cos)≧0
由已知,a,b为非零向量,∴|b|²>0恒成立,∴⊿=4√3 |b|²(√3-2cos)≧0要恒成立,
即√3-2cos≧0,∴cos≤√3/2,
又∵平面向量所成的角θ的取值范围为：θ∈[0,∏],∴θ∈[∏/6,∏]
结论：-1 ≤ cos≤√3/2 三角函数值的取值范围
θ∈[∏/6,∏] 向量夹角的取值范围
望能帮助读者释疑!