已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．（I）求实数a的值；（II）设g（x_数学解答

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（

，f（

））处的切线斜率为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（II）设g（x）=

f(x)−x

x−1

，求g（x）的单调区间；
（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：

m	n

n	m

＞

．

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解答

（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，依题意f′(1e)=a=1，所以a=1．…（2分）（Ⅱ）因为，g（x）=f(x)−xx−1，g（x）=f(x)−xx−1=xlnxx−1，所以g′(x)＝x−1−lnx(x−1)2．设∅（x）=x-1-lnx，则∅′（x...