解:f(x)=x~3+x~2+x+3的导数为g(x)=3x^2+2x+1,
当x=-1时,g(x)=3x^2+2x+1=2,
即切线斜率为2.
当x=-1时,f(x)=x~3+x~2+x+3=2
故抛物线y~2=2px的切线也过点(-1,2),
故抛物线y~2=2px的切线为:y-2=2*(x+1),即y=2x+4,
由切线与抛物线y~2=2px(p>0)相切,
故把2x=y-4代入y~2=2px,得
y^2=2px=p*(y-4),即y^2-py+4p=0
故判别式=p^2-4*4p=0,
得p=16或p=0(不合,舍去)
由抛物线的通径长为连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段,
故抛物线的通径长为2p=32