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数学
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若不等式x
2
+2xy≤m(2x
2
+y
2
)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
人气:410 ℃ 时间:2019-12-01 12:43:43
解答
由题意可得:不等式x
2
+2xy≤m(2x
2
+y
2
)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x
2
-2xy+my
2
≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)
(
x
y
)
2
-2
•
x
y
+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
x
y
,则有t>0,
所以(2m-1)t
2
-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t
2
-2t+m,(t>0),
①m=
1
2
时,显然不符合题意,故舍去.
②当m
≠
1
2
时,函数的对称轴为t
0
=
1
2m−1
,
所以由题意可得:
2m−1>0
△=4−4(2m−1)m≤0
,解得m≥1.
故答案为1.
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