若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
人气:453 ℃ 时间:2019-12-01 12:43:43
解答
由题意可得:不等式x
2+2xy≤m(2x
2+y
2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x
2-2xy+my
2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)
()2-2
•+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
,则有t>0,
所以(2m-1)t
2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t
2-2t+m,(t>0),
①m=
时,显然不符合题意,故舍去.
②当m
≠时,函数的对称轴为t
0=
,
所以由题意可得:
,解得m≥1.
故答案为1.
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