已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0(a>0),(1)证明该方程的一个根大于2,另一个根小于2
(2)若对于a=1,2,3.......2012,相应方程的两根分别为(α1,β1)......(α2012,β2012),求1/α1+1/β1+1/α2+1/β2+......+1/α2012+1/β2012
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解答
(1)f(2)=2²-2*2-a²-a=-a²-a<0恒成立 ,开口向上,故该方程的一个根大于2,另一个根小于2
(2)1/α+1/β=(α+β)/α*β=2/(-a²-a)
1/α1+1/β1+1/α2+1/β2+1/α3+1/β3+1/α4+1/β4+······+1/α2012+1/β2012
=(1/α1+1/β1)+(1/α2+1/β2)+(1/α3+1/β3)+(1/α4+1/β4)+······+(1/α2012+1/β2012)=-2/1(1+1)-2/2(2+1)-2/3(3+1)-2/4(4+1)-2/5(5+1)-……-2/2012(2012+1)
=-2(1-1/2012)
=-4014/2013
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