解法一：
因为点z在实轴和虚轴上移动,所以
z=a或z=bi,a,b∈R,
所以z^2∈R,
所以u=（z^2+1）+2i
设x=z^2+1,y=2
则复数u对应的点的坐标为（z^2+1,2）
因此复数u=z^2+1+2i在复平面上的点的轨迹为
y=2,即平行于x轴且与x轴的距离为2的直线.
解法二：
①当点Z在实轴上移动时,
设点Z对应的复数z=a,a∈R,
则u=(a^2+1)+2i,
设x'=a^2+1,y'=2,
则此时复数u=z^2+1+2i在复平面上的点的轨迹方程为
y=2,其轨迹为与x轴平行的且与x轴的距离为2的直线.
②当点Z在虚轴上移动时,
设点Z对应的复数z=bi,b∈R,
则u=(1-b^2)+2i,
设x'=1-b^2,y'=2,
则此时复数u=z^2+1+2i在复平面上的点的轨迹方程为
y=2,其轨迹为与x轴平行的且与x轴的距离为2的直线.
综上,复数u=z^2+1+2i在复平面上的点的轨迹方程为
y=2,其轨迹为与x轴平行的且与x轴的距离为2的直线