（Ⅰ）因为f(x)＝sin(2x−

π

6

)+2cos2x−1=

3

2

sin2x−

1

2

cos2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin(2x+

π

6

)
所以函数f（x）的单调递增区间是〔kπ−

π

3

，kπ+

π

6

〕（k∈Z）
（Ⅱ）因为f（A）=

1

2

，所以sin(2A+

π

6

)＝

1

2

又0＜A＜π所以

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

从而2A+

π

6

＝

5π

6

故A=

π

3

在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=

π

3

∴1=b²+c²-2bccosA，即1=4-3bc．
故bc=1
从而S_△ABC=

1

2

bcsinA＝

3

4