在数列{an}中,a1=-1,a2=0,an+1+4an-1=4an(n≥2),数列{bn}满足bn=an+1-2an.
试证数列{bn}为等比数列,并求数列{an},{bn}的通项公式;
求数列{an}的前n项和Sn.
注:题中n+1、n-1、n为a或b右下角角标
人气:381 ℃ 时间:2020-06-24 18:56:49
解答
1.b(n+1)=a(n+2)-2a(n+1) 而a(n+2)=4a(n+1)-4anb(n+1)=2a(n+1)-4an=2[a(n+1)-2an]=2bn 即bn为公比等于2的等差数列 其中b1=a2-2a1=2bn=2^n
2^n=a(n+1)-2an2^(n-1)=an-2a(n-1)2^(n-1)=2a(n-2)-4a(n-2) …… 2^(n-1)=2^(n-2)a2-2^(n-1)a1
叠加可得an- 2^(n-1)a1=(n-1)2^(n-1)an=(n-2)2^(n-1)
2.sn=-1*2^0+0*2^1+1*2^2+……+(n-2)2^(n-1)
2sn=-1*2^1+0*2^2+……+(n-3)2^(n-1)+(n-2)2^n
下减上可得sn=1-[2^1+2^2+……+2^(n-1)]+(n-2)2^n=3+(n-3)2^n
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