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数学
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已知函数g(x)=-x
2
-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时f(x)的最小值为1,且f(x)+g(x)为奇函数,求函数f(x)的解析式.
人气:337 ℃ 时间:2020-02-05 14:53:38
解答
设f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),则f(x)+g(x)=(a-1)x
2
+bx+c-3,
∵f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3
∴f(x)=x
2
+bx+3,对称轴x=-
b
2
,
①当-
b
2
>2,即b<-4时,f(x)在[-1,2]上为减函数,
∴f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1,∴b=-3,∴此时无解
②当-1≤-
b
2
≤2,即-4≤b≤2时,f(x)
min
=f(-
b
2
)=3-
b
2
4
=1,∴b=±2
2
∴b=-2
2
,此时f(x)=x
2
-2
2
x+3,
③当-
b
2
<-1s时,即b>2时,f(x)在[-1,2]上为增函数,
∴f(x)的最小值为f(-1)=4-b=1,
∴b=3,∴f(x)=x
2
+3x+3,
综上所述,f(x)=x
2
-2
2
x+3,或f(x)=x
2
+3x+3.
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