（1）设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b>0）
由离心率e=

3

，焦距为2

3

，则c=

3

，a=1，b²=c²-a²=2，
则双曲线方程为：x²-

y2

2

=1；
（2）假设存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），
A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相减可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k=

y1-y2

x1-x2

=2，
即有直线AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入双曲线方程2x²-y²=2，可得，2x²-4x+3=0，
检验判别式为16-24<0，方程无解．
故不存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．