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数学
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如果关于实数x的方程
a
x
2
+
1
x
=3x
的所有解中,仅有一个正数解,那么实数a的取值范围为( )
A. {a|-2≤a≤2}
B. {a|a≤0或a=2}
C. {a|a≥2或a<-2}
D. {a|a≥0或a=-2}
人气:403 ℃ 时间:2020-04-09 05:47:27
解答
关于实数x的方程
a
x
2
+
1
x
=3x
的所有解中,仅有一个正数解
⇔a=
3
x
−
1
x
3
有且仅有一个正实数解.
令
1
x
=t(t≠0)
,t的符号与x的符号一致,则a=-t
3
+3t有且仅有一个正实数解,
令f(t)=-t
3
+3t(t≠0),
f′(t)=-3t
2
+3,由f′(t)=0得t=1或t=-1.
又t∈(-1,1)时,f′(t)>0;t∈(-∞,-1),(1,+∞)时,
f′(t)<0.所以[f(t)]
极大值
=f(1)=2.
又t→-∞,f(t)→+∞;t→+∞,f(t)→-∞.
结合三次函数图象即可.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,0]∪{2}.
故选B.
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