设P是双曲线右支上的一点，设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则

m-n=2 3 m+n=2 6

，解得mn=3．
|F₁F₂|=4．
∴cos∠F₁PF₂=

m2+n2-42

2mn

=

(m+n)2-2mn-42

2mn

=

24-6-16

2×3

=

1

3

．
故选：D．