已知椭圆C x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的两点,P.Q在x轴上的射影分别为椭圆的左右焦点且PQ两点连线的斜率为二分之根号二,求椭圆离心率
人气:380 ℃ 时间:2020-02-03 19:47:58
解答
椭圆是中心对称图形,该椭圆对称中心为坐标原点,P、Q在x轴上的射影分别为椭圆的左右焦点,左右焦点关于原点对称,P、Q必关于原点对称,又知P、Q两点连线的斜率为√2/2>0,所以P、Q分属于第一、三象限,不妨设P在第三象限,则Q在第一象限,设椭圆半焦距为c,则P(-c,-√2/2c),Q(c,√2/2c),
择其一代入椭圆方程得:c²/a²+(√2/2c)²/b²=1 ①,
又据椭圆恒等式:a²=b²+c² ②,
有 c²/a²=1-c²/(2b²)=1-(a²-b²)/(2b²)=(3-a²/b²)/2
所以 离心率e=c/a=√(3-a²/b²)/√2
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