∵P的坐标为（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，

1

2a

），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F点的坐标为（1-

1

2a

，

1

2a

），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（-

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=

1

2a2

•2a²=1，即AF•BE=1．
故选C．