双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程
人气:151 ℃ 时间:2019-11-23 02:34:33
解答
e=c/a=√(a^2+b^2)/a=2√3/3,∴(a^2+b^2)/a^2=4/3,∴1+b^2/a^2=4/3,
∴b^2/a^2=1/3,∴a^2=3b^2.
∵A(a,0)、B(0,-b),∴AO⊥BO、且OA=a、OB=b、AB=√(a^2+b^2).
在直角三角形中,显然有弦乘弦高=勾股相乘,∴(√3/2)√(a^2+b^2)=ab,
∴(3/4)(a^2+b^2)=a^2b^2.将a^2=3b^2代入其中,得:
(3/4)(3b^2+b^2)=3b^4,∴b^2=1,进而得:a^2=3.
∴满足条件的双曲线方程是x^2/3-y^2=1.
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