设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵._数学解答

设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.

人气：133 ℃　时间：2020-02-06 09:23:38

解答

构造分块矩阵D=AB则r(D) >= r(A+B) =n.所以 R(D) = n.所以 DX = 0 只有零解.所以对任意X != 0,有 AX !=0 或 BX!=0.所以 X^T(A^TA+B^TB)X = (AX)^T(AX) + (BX)^T(BX) >0.所以 A^TA+B^TB 是正定矩阵...