若一个自然数的平方前四位数字为2012,则满足条件的最小自然数是
人气:257 ℃ 时间:2019-08-17 15:47:27
解答
楼上的结果是正确的,
设a是符合条件的自然数,令a²=2012×10ⁿ+b(b<10ⁿ)
则a²/10ⁿ=2012+b/10ⁿ=2012.×××(×××代表小数部分,共n位),即2012<a²/10ⁿ<2013
(1)如果n是偶数,则√(a²/10ⁿ)是一个有限小数,由于√2012<√(a²/10ⁿ)<√2013,
而√2012=44.855···,√2013=44.866···,因而√(a²/10ⁿ)必定是介于44.855···和44.866···之间的有限小数,只需在44.855···和44.866···之间取有限小数,然后去掉小数点所形成的整数必定都是符合条件的整数.
欲求最小的a,只需取最小长度的小数即可,在上述区间内最小长度的小数为44.86,于是最小的a为4486.
经验证:4486²=20124196.
(2)如果n是奇数,则√(a²/10ⁿ⁻¹)是一个有限小数,和上边过程一样,由于√20120<√(a²/10ⁿ⁻¹)<√20130,而√20120=141.845···,√20130=141.880···,因而√(a²/10ⁿ⁻¹)必定是介于141.845···和141.880···之间的有限小数,只需在141.845···和141.880···之间取有限小数,然后去掉小数点所形成的整数必定都是符合条件的整数.
在上述区间内最小长度的小数为141.845,于是最小的a为141845.
经验证:141845²=201214225.
综上,n为偶数时a的最小值更小,所以最小的a为4486.
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