已知函数f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0）（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）≥0在区间（0_数学解答

已知函数f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0）
（1）求f（x）的单调区间
（2）若f（x）≥0在区间（0,+∞）内恒成立,求实数a的取值范围
（3）n∈N+,求证：1/In2 + 1/In3 +.+1/In(n+1) ＞n/(n+1)

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解答

f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0）,
f'(x)=a/x+x-(1+a)=[x^2-(1+a)x+a]/x=(x-1)(x-a)/x,
(1)(i)a=1时f'(x)>=0,f(x)(x>0)是增函数.
（ii)a>1时1