设p、q是两个奇数,试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.
人气:158 ℃ 时间:2020-03-17 17:16:50
解答
①首先,方程的根不可能是奇数;若x为奇数,则x2为奇数,而2px+2q 是偶数,因此x2+2px+2q取奇数值,不可能是0;
②其次,方程的根不可能是偶数;若x为偶数,则x2+2px能被4整除,而这时常数项2q被4除时余2,因此不能满足x2+2px+2q≠0;
③最后,方程的根不可能是分数;若x为分数,则x+p也是分数,而方程可以变为(x+p)2=p2-2q,等号右端的p2-2q是一个整数,左端是一个分数,这是一个矛盾!
综上可知,当p,q是两个奇数时,方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.
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