设f(x)为可导函数,且满足∫（上限为x下限为0）tf（t）dt=x^2+f(x),求f（x）_数学解答

设f(x)为可导函数,且满足∫（上限为x下限为0）tf（t）dt=x^2+f(x),求f（x）

人气：490 ℃　时间：2019-10-31 14:31:34

解答

∫（0→x）tf（t）dt=x^2+f(x)
两边同时对x求导得
xf(x)=2x+f '(x)
xy=2x+y '
dy/dx=x(y-2)
dy/(y-2)=xdx
两端积分得
ln|y-2|=x²/2+C1
y-2=Ce^(x²/2)
f(x)= y=Ce^(x²/2)+2