∵f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，g（2）=a，
∴f（2）+g（2）=a²-a^-2+2．①，
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴当x=-2时，f（-2）+g（-2）=a^-2-a²+2   ②
即-f（2）+g（2）=a^-2-a²+2，③
①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，
又g（2）=a，∴a=2．
代入①得：f（2）+2=2²-2^-2+2，
∴f（2）=2²-2^-2=4-

1

4

=

15

4

．
故选：B．