当x≤3，方程变为：x²-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²，x₁=1，x₂=a+3；
当x＞3，方程变为：x²+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²，x₁=5，x₂=3-a；
∵原方程有两个不同的实数根，
∴方程①，②都有等根，即a+2=0，a=-2；
或方程①，②都只有一个根，即a+3＞3，且3-a＜3，解得a＞0，
所以实数a的取值范围是a＞0或a=-2．
故选D．