当a＞0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调增函数（2分）
∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有2^a+b=1（3分）
x=2，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有2=2^2a+b（4分）
可得a=1，b=-1 （6分）
∴f（x）=2^x-1（7分）
当a＜0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调减函数（9分）
∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有∴2^a+b=2（10分）
x=2，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有1=2^2a+b（11分）
可得a=-1，b=2 （13分）
∴f（x）=2^-x+2（14分）
∴f（x）的解析式为f（x）=2^x-1或 f（x）=2^-x+2（16分）