（1）∵f(x)＝

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数，其图象过原点，且f(

1

2

)＝

2

5

．
∴b=0，

a 2 +b

1+ 1 4

=

2

5

∴b=0，a=1
∴f(x)＝

x

1+x2

（x∈（-1，1））
（2）证明：任取x₁，x₂使-1＜x₁＜x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1 +x 21

-

x2

1 +x 22

=

(x1−x2)(1−x1x2)

(1 +x 21 )(1 +x 22 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0；1-x₁x₂＞0；
∴

(x1−x2)(1−x1x2)

(1 +x 21 )(1 +x 22 )

＜0
f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；