（1）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
当f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞

lnx

x

，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=

lnx

x

 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤

e

2

时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）_max=f（2a）=

ln2a

2a

；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）_max=f（2a）=

lna

a

；
当a＜e＜2a时，即

e

2

＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=

1

e

．
综上得：
当0＜a≤

e

2

时，m＞

ln2a

2a

；
当a≥e时，m＞

lna

a

；
当

e

2

＜a＜e时，m＞

1

e

．