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数学
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已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(
1
2
)=1,如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y).
(1)求f(1),f(2);
(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.
人气:420 ℃ 时间:2020-03-10 02:42:19
解答
解(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0
再令x=2,y=
1
2
,
∴f(1)=f(2)+f(
1
2
)=0,
∴f(2)=-1
(2)∵对于0<x<y,都有f(x)>f(y).
∴函数在(0,+∞)减函数,
令x=y=2,
∴令x=y=2得f(4)=f(2)+f(2)=-2,
∵f(-x)+f(3-x)≥-2.
∴f(x)+f(x-3)≥f(4),
∴f[x(x-3)]≥f(4),
∴
-x>0
3-x>0
x(x-3)≤4
,
解得-1≤x<0
∴原不等式的解集为[-1,0)
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