已知函数f(x)的定义域为{x/x属于R且x不等于0},对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
1,求证f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数
2,请写出一个满足上述条件的函数
人气：183 ℃ 时间：2020-02-03 10:41:41
解答
1、令X1=1,X2=x,得f(x)=f(1)+f(x),所以f(1)=0
令X1=1/X2=x,得f(1)=f(x)+f(1/x)=0,即f(1/x)=-f(x)得证.
由于（-1）=1/(-1),代x=-1得f(-1)=-f(-1), f(-1)=0
再令x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),即f(x)为偶函数.
2、由已知条件易写出 f(x^n)=nf(x),满足这个条件的是对数函数.再根据1问中的讨论,可写出满足所有条件的一个函数f(x)=ln|x|. （当然你也也可以以其他数为低,如以10为底则f(x)=lg |x| )
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