矩阵A是一个n*n的对称矩阵,1.证明A+A‘也是对称矩阵.（' 表示转置） 2.证明x'*A*x=x'*(0.5*(A+A'))_数学解答

矩阵A是一个n*n的对称矩阵,1.证明A+A‘也是对称矩阵.（' 表示转置）
2.证明x'*A*x=x'*(0.5*(A+A'))*x 对于所有的x∈Rn都成立.
3.证明x'*A*x≥0对于所有的x∈Rn都成立,当且仅当对称矩阵A+A‘是半正定矩阵.
有一个地方写错了，A只是一个n阶矩阵，没有对称这个条件。

人气：453 ℃　时间：2020-04-24 04:58:25

解答

证明:1.因为 (A+A')' = A'+(A')' = A'+A = A+A'
所以 A+A' 是对称矩阵
2.二次型 x'Ax 的矩阵即 0.5(A+A')
所以 x'Ax = x'(0.5*(A+A'))x
3.由(2)知 x'(0.5*(A+A'))x >=0
所以 A+A‘是半正定矩阵第二步和第三步还是不太明白，能细说一下吗？谢谢2. 比如 A=1234则 x'Ax = x1^2+2x1x2+3x2x1+4x2^2 = x1^2+4x2^2 + 5x1x2这个二次型的矩阵即15/25/24= (A+A')/2 3. 你看看教材怎么定义半正定的就知道了