假设是有理数,就可以表示成 s/t 的形式,其中s,t均为正整数且s,t互素.
因此由 根号p=s/t 即知 p=s^2/t^2.因为等式两边均为整数,左边能被p整除,所以右边也能被p整除,即s能被p整除,设s=pr,r也是正整数.从而有
p=p^2*r^2/t^2.两边约去一个p得到：1=p*r^2/t^2,即 t^2=p*r^2.
此时等式右边能被素数p整除,所以左边也能被素数p整除,即t=pq,但由于p是素数,此时s=pr,t=pq,两者有共同的素因子p,这与假设它们互素矛盾,所以素数p开方是无理数.