设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
人气：252 ℃ 时间：2020-09-21 16:08:08
解答
证明：如图因为抛物线y
2=2px（p＞0）的焦点为F（
，0），
所以经过点F的直线的方程可设为
x=my+；
代入抛物线方程得y
2-2pmy-p
2=0，
若记A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），则y
1，y
2是该方程的两个根，
所以y
1y
2=-p
2．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-
上，
所以点c的坐标为（-
，y
2），
故直线CO的斜率为
k===．
即k也是直线OA的斜率，
当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．
所以直线AC经过原点O．
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