由已知x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

，
得出x+

1

y

=y+

1

z

，
∴x-y=

1

z

-

1

y

=

y−z

zy

，
∴zy=

y−z

x−y

①
同理得出：
zx=

z−x

y−z

②，
xy=

x−y

z−x

③，
①×②×③得x²y²z²=1，即可得出xyz=±1．
故答案为：±1．