AB直线方程为： 2x-y+2=0
设与AB平行的直线：2x-y+b=0与圆C相切
则：(x-1)^2+(2x+b)^2=1有且只有一个解
5x^2+(4b-2)x+b^2=0
判别式△=(4b-2)^2-20b^2=-4b^2-16b+4=0
b=-2±√5
所以,与AB平行并与圆C相切的直线为：2x-y-2±√5=0
其中,与AB距离最远的是：2x-y-2-√5=0
它们的距离是：（4√5+5)/5
|AB|=√5
所以,三角形ABP面积的最大值=1/2*（4√5+5)/5*√5=2+√5/2