向量a,b满足|a|=2 ,|b|=1,其夹角为120,对于任意向量m,总有(m-a)(m-b)=0,则|m|的最大值与最小值之差为?
人气:478 ℃ 时间:2020-06-16 00:33:14
解答
|a|=2,|b|=1,
=2π/3,则:a·b=|a|*|b|*cos(2π/3)=-1
|a+b|^2=()()=|a|^2+|b|^2+2a·b=5-2=3,即:|a+b|=sqrt(3)
则:(m-a)·(m-b)=|m|^2+a·b-m·(a+b)=|m|^2+a·b-m·(a+b)
=|m|^2-1-m·(a+b)=|m|^2-1-|m|*|a+b|*cos=0
即:cos=(|m|^2-1)/(sqrt(3)|m|),而:cos∈[-1,1]
故:(|m|^2-1)/(sqrt(3)|m|)∈[-1,1],解这个不等式可得:
(sqrt(7)-sqrt(3))/2≤|m|≤(sqrt(7)+sqrt(3))/2
故:|m|的最大最小值之差是:sqrt(3)
最好用数形结合:
|a-b|=sqrt(7),以|a-b|为直径画一个圆,则m在这个圆山运动,当m经过
a-b的中点时,|m|取最大值,即:sqrt(7)/2+sqrt(3)/2
这个sqrt(3)/2用余弦定理容易算出,当m的方向与上面的相反时
|m|取最小值,即:sqrt(7)/2-sqrt(3)/2sqrt 什么意思啊? 我才是高中生,不懂根号呀,二次根下,sqrt(2)=1.414
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