(1)
∵{an}为等比数列,设公比为q
a1=2,4（a3）²=a2*a6
∴4(2q²)²=2q*2q^5
∴q²=4
∵an>0
∴q>0,q=2
∴an=2^n
bn=log₂a1+log₂a2+log₂a3+...+log₂an
=log₂(a1*a2*a3*.*an)
=log₂2^(1+2+3+...+n)
=1+2+3+.+n
=(n+1)n/2
∴1/bn=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
∴{1/bn}前n项和
Tn=2[1-1/2+1/2-1/3+.+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)
(2)
7+kan≥（n+1）,Tn对任意正整数n恒成立
没说清楚
7+kan≥(n+1)Tn 吗?
7+k*2^n≥(n+1)*2n/(n+1)=2n
∴k*2^n≥2n-7
即 k≥(2n-7)/2^n恒成立
需k≥[(2n-7)/2^n]max
记cn=(2n-7)/2^n
c1,c2,c3>0
n≥4时,cn>0
由c(n+1)/cn≥1
即 {[2(n+1)-7]/2^(n+1)}/[2n-7)/2^n]≥1
得 (2n-5)/(4n-14）≥1
2n-5≥4n-14
2n≤9
n≤9/2
∴n≤4
∴c1 c5>c6>c7>.
∴n=5时,cn最大
c5=(2*5-7)/32=3/32
∴k≥3/32