> 数学 >
设
a
、
b
是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记
OA
=
a
，
OB
=t
b
，
OC
=
1
3
（
a
+
b
），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？
（2）若|
a
|=|
b
|=1且
a
与
b
夹角为120°，那么实数x为何值时，|
a
+x
b
|的值最小？
人气：343 ℃　时间：2020-05-16 09:01:13
解答
（1）∵A、B、C三点共线，∴
AB
=λ
AC
，∴-
a
+t
b
=λ（-
2
3
a
+
1
3
b
）=-
2
3
λ
a
+
1
3
λ
b
，
∴
−1＝−
2
3
λ
t＝
1
3
λ
，解得 t=
1
2
．
（2）∵|
a
|=|
b
|=1，＜
a
，
b
＞=120°，∴
a
•
b
=-
1
2
，
∴|
a
+x
b
|2=|
a
|2+x2|
b
|2-2x•
a
•
b
=1+x2+x=（x-
1
2
）2+
3
4
≥
3
4
，
∴|
a
-x
b
|的最小值为
3
2
，此时x=
1
2
．
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