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数学
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设函数f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=0,求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=-
f(ξ)
ξ
.(提示:利用中值定理证明).
人气:211 ℃ 时间:2019-08-17 03:00:45
解答
证明:令F(x)=xf(x),由题意F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,
且F(0)=0,F(1)=0,
由罗尔定理可知在(0,1)内至少存在一点ξ,使F′(ξ)=0,
即f(ξ)+ξf′(ξ)=0,
所以,在(0,1)内至少存在一点ξ,使
f
′
(ξ)=−
f(ξ)
ξ
.
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