设有函数f(x),x>0对任何x和y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(1)的导数存在,证明f(x)在x>0上可导_数学解答

设有函数f(x),x>0对任何x和y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(1)的导数存在,证明f(x)在x>0上可导

人气：203 ℃　时间：2019-08-17 23:54:04

解答

f(x)=f(1*x)=f(1)+f(x),即f(1)=0
f(x+Δx)-f(x)=f[x(1+Δx/x)]-f(x)=f(x)+f(1+Δx/x)-f(x)=f(1+Δx/x)
故x>0时
lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=(1/x)lim[f(1+Δx/x)-f(1)]/(Δx/x)=(1/x)f'(1)
即x>0时,f(x)可导