已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
人气:418 ℃ 时间:2019-08-19 11:02:05
解答
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[-(2k+1)]
2-4(k
2+2k)≥0…(1分)
∴4k
2+4k+1-4k
2-8k≥0
∴1-4k≥0,…(3分)
∴k≤
.
∴当k≤
时,原方程有两个实数根. …(6分)
(2)假设存在实数k使得
x1•x2−x12−x22≥0成立.
∵x
1,x
2是原方程的两根,
∴
x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k. …(8分)
由
x1•x2−x12−x22≥0,
得
3x1•x2−(x1+x2)2≥0.
∴3(k
2+2k)-(2k+1)
2≥0,整理得:-(k-1)
2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立. …(10分)
又由(1)知k≤
,
∴不存在实数k使得
x1•x2−x12−x22≥0成立. …(12分)
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