如图，平面BB₁D₁D∩平面A₁BC₁=BF，
∵F是A₁C₁的中点，
∴BF是△A₁BC₁的A₁C₁边上的中线，
∵对角线B₁D与平面A₁BC₁相交于点E，
∴E∈BF．
∵B₁F∥BD，∴△B₁EF∽△DEB，
∴

EF

BE

＝

B1F

BD

＝

1

2

，
∴点E为△A₁BC₁的重心．
故选D．