n阶方阵A满足A的平方等于A,请利用矩阵的满秩分解证明A的秩加A-E的秩大于等于n,并进而证明其等于n._数学解答

n阶方阵A满足A的平方等于A,请利用矩阵的满秩分解证明A的秩加A-E的秩大于等于n,并进而证明其等于n.

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解答

A^2=A
->A(A-E)=0
所以r[A(A-E)]≥r(A)+r(A-E)-n
r(A)+r(A-E)≥r(A-A+E)
所以r(A)+r(A-E)=n
也可以用分块矩阵做